НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Формула"

Использование классических формул для расчета максимальных касательных напряжений дает большую погрешность, чем для расчета ах.

Относительные значения максимальных напряжений, вычисленные по формулам [61] для различных значений | и [, приведены на рис.

Горизонтальной линией отмечено значение максимальных напряжений, вычисленных по формуле Журавского.

Расчет напряжений ах тах по классическим формулам без учета анизотропии упругих свойств и локальности приложения нагрузки дает заметную погрешность.

Формула (2.

27) имеет место в случае двух- и трехточечной схем нагружения пластины при измерении прогиба в центре, а формула (2.

Определение модуля сдвига в плоскости пластины по формулам (2.

Деформационные свойства таких элементов рассчитывают по формулам для анизотропного тела.

Упругие константы рассчитывают по известным формулам для двухмер-ноармированного материала.

Для этого необходимо компоненты жесткости каждого слоя выписать в системе координат 1, 2, 3, повернутой относительно исходных, в общем случае неортогональных, векторов ty, i — 1,2,3, и воспользоваться, с учетом второго допущения, общими формулами, соответствующими совместному деформированию пакета слоев.

Приближенные формулы можно получить из решения задач меньшей сложности.

Характеристики материала, волокна которого уложены в различных направлениях, но параллельно одной плоскости, можно рассчитать с помощью формул для однонаправленного материала, используя прием разбиения материала на слои.

При расчете деформативных характеристик ортогонально-армированного двухмерного волокнистого композиционного материала используется прием, сущность которого состоит в том, что расчет проводят по формулам для однонаправленного материала, но характеристики связующего рассчитывают предварительно через свойства полимерной матрицы и армирующих волокон ортогонального направления.

При этом, как и в работах [1, 49], для модулей сдвига используются формулы [10, 86], полученные на основе регулярных моделей однонаправленного материала.

•Упругие характеристики слоя с прямолинейным расположением волокон определяют по формулам табл.

Характеристики модифицированной матрицы, входящие в формулы, обозначены звездочкой.

Более простые формулы для расчета упругих характеристик слоя приведены в табл.

Формула (3.

5) [4] является полуэмпирическим приближением к более точным соотношениям для Трансверсаль-ного модуля, вытекающим из решения задачи теории упругости, формула (3.

Модуль сдвига в плоскости, перпендикулярной к укладке волокон направления 3, при том же предельном переходе имеет идентичное выражение, поэтому указанная формула используется для записи модуля сдвига модифицированной матрицы в плоскости 1 2 укладки слоев.

Выражение для коэффициента Пуассона модифицированной матрицы получается при подстановке формул (3.

Свойства ее рассчитывают также по формулам (3.

Из формул (3.

V) 2 4i|)2 (1 + т))2)-2 ^*2 4г|)2 "3'5" "2-5 "4-6" , вычисленные по формуле (3.

Они получены из известных формул пересчета компонент матрицы податливости при повороте главных осей упругой симметрии 13 материала вокруг оси 2 в соответствии с (3.

Расчет характеристик слоя с прямолинейным расположением волокон проводится по формулам табл.

ная формула приведена в работе [76].

-*- оо, из формулы (3.

13)] удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле

Вывод последней формулы получен путем преобразования зависимостей работы [108], в которой энергетическим методом решена задача по определению модуля упругости вдоль синусоидально искривленных волокон.

Незначительное расхождение модуля Е^,, вычисленного с помощью различных методов при малых значениях параметра i|>(:=;tgi()), свидетельствует о достаточной точности приведенных формул для приближенного расчета упругих констант слоя.

Для слоя, содержащего прямолинейные волокна в направлении Г и регулярно искривленные в плоскости 32' волокна в направлении 3', упругие характеристики рассчитывают также по формулам табл.

3 с учетом формул табл.

2 при замене во всех указанных формулах Г на 3', 2' на Г, 3' на 2' и индексов Г->- 3, 2~-->-7, 3~->-"2.

При наличии регулярных искривлений волокон в направлениях 3' и 2' параллельно плоскости 3'2' характеристики слоя рассчитывают также по формулам, приведенным в табл.

Упругие характеристики слоя как дпухмерноармированного прямолинейными волокнами материала вычисляют по формулам табл.

В формулах (3.

В силу симметричности тензора жесткости значения эффективных констант материала, рассчитанные по формуле (3.

31), должны совпадать с их расчетными значениями по второй из формул (3.

Для плоских слоев, параллельных плоскости 12, среднее интегральное вычисляют по формулам суммирования.

Приведем в общем виде формулы суммирования, соответствующие усреднению компонент тензора жесткости ортотропных слоев согласно правым частям выражений (3.

Суммирование по формуле (3.

Модули Юнга, сдвига и коэффициенты Пуассона материала слоя, входящие в эти выражения, рассчитывают в случае трехмерного армирования по формулам табл.

В случае, когда главные оси упругой симметрии 1 2 3 всего слоистого материала и отдельного слоя 1 2 3 не совпадают вследствие поворота слоя вокруг оси 3 на угол 9, расчет компонент жесткости материала по формулам (3.

5, по формулам преобразования компонент тензора четвертого ранга:

Модули упругости и коэффициенты Пуассона монослоя вычисляют по формулам табл.

Формулы преобразования компонент матрицы жесткости монослоя при повороте вокруг оси 3 на угол 6 (at = cos 9, a2 = sin 0)

Компонента жесткости Формулы преобразования *

Компоненты матрицы жесткости слоя при повороте осей следует вычислять по формулам табл.

Трехмсрноармированные среды податливости за счет напряжения о2, связанного с (ах) и (о„) формулой (3.

Упругие модули и коэффициенты Пуассона в плоскости слоистого орто-тропного композиционного материала в случае плоского напряженого состояния находят по следующим формулам:

Так, для косоугольных и ортогональных укладок материала эффективные компоненты жесткости, характеризующие влияние поперечной деформации на напряжения в плоскости, находят, как следует из формул (3.

Коэффициент армирования материала с неплотной упаковкой легко рассчитать через известное его значение для плотной упаковки с учетом шага между волокнами по формуле (1.

Прием формального усреднения и полуэмпирический расчет по формулам (3.

82) штрихом, следует рассчитывать по формулам преобразования тензоров четвертого ранга (3,46) при повороте главных осей упругой симметрии расчетного элемента относительно выбранной системы координат 123.

Расчетные формулы для определения упругих констант однонаправленного материала, полученные из решения плоской задачи теории упругости различными методами [85, 86], приведены в табл.

Отметим, что формулы Ванина [10, 11] с точностью до обозначений совпадают с полученными в работах [85, 86].

Эти формулы используются-в работах [40, 42, 43] в качестве исходных зависимостей в алгоритме расчета деформативности пространственно-армированных материалов.

Компоненты матрицы жесткости однонаправленного материала выражаются через технические постоянные по формулам табл.

Из их анализа при допущении, что коэффициент Пуассона армирующего и связующего материалов равен 1/4, можно получить простые расчетные формулы для модулей Юнга и сдвига изотропного по эффективным свойствам материала:

Погрешность этих формул по сравнению с более сложным расчетом, свободным от указанного допущения и дающим верхние оценки упругих констант, составляет при ц •< 0,5 менее 1 %.

11, рассчитанный при ц = 0,35, отличается от его значения [43], рассчитанного по формуле (3.

83), на 2 %, а модуль сдвига — соответственно по формуле (3.

Материал с однородным искривлением волокон ведет себя как отдельный слой, армированный искривленными волокнами; его усредненные характеристики определяют по формулам табл.

Наличие кинематического стеснения при деформировании смежных слоев не позволяет использовать указанные формулы непосредственно для расчета упругих постоянных материала с противофазным искривлением волокон в слоях.

При определении упругих постоянных вначале находят компоненты uij для двух скрепленных по длине dx слоев с учетом совместности их деформаций, а затем производят усреднение по формуле (3.

6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (Bij\, компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости {Втпы}< т> п< k, I = 1, 2, 3: их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.

Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.

При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя ВтпЫ в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 6.

Для всего композиционного материала с учетом сказанного из формул (3.

5), определяют по формулам табл.

Остальные компоненты матрицы жесткости, характеризующие поперечные к плоскости 13 сдвиговые свойства, отличаются от соответствующих компонент отдельного слоя при повернутых осях [формула (4.

7)], но компоненты матрицы податливости [формула (4.

При наличии синусоидальной формы искривления волокон формулы для расчета усредненных компонент матрицы податливости совместно работающих слоев получаются весьма сложными.

В этом случае упругие постоянные рассматриваемого типа материалов определяют по формулам (4.

Жесткости слоев приближенно вычисляют по формуле суммирования.

Установлено хорошее совпадение расчетных, вычисленных по приведенным формулам, и экспериментально измеренных значений упругих констант.

Поэтому предполагалось, что модули сдвига слоя во всех трех плоскостях одинаковы и описываются формулой для G—, приведенной в табл.

Такое предположение основывается на том, что по этой формуле достаточно точно рассчитывается модуль межслойного сдвига материалов, изготовленных методом прессования.

Расчет упругих характеристик этих материалов в направлениях, не совпадающих с главными направлениями ортотропии, можно выполнять по формулам пересчета констант материала при повороте осей координат.

Опытные значения модуля упругости и сдвига под углом ф хорошо совпадают с расчетными, вычисленными по известным формулам пересчета упругих констант относи

Ее деформативные характеристики определяют по известным формулам для трансверсально-изотроп-ной среды, составленной из связующего и волокон одного из трех направлений армирования (техника введения модифицированной матрицы подробно описана на с.

При этом девять независимых констант для каждого из слоев, содержащих волокна 1-го или /-го направлений, вычисляют по формулам (см.

Компоненты тензора жесткости выбранной таким образом модели слоистой среды рассчитывают по формулам (3.

Переходя далее к матричной записи, по формулам (4.

j берут по первой из формул (5.

Формулы для расчета упругих констант материала, армированного системой трех нитей, через технические постоянные слоя приведены в табл.

Из формул для модулей сдвига (см.

формулы (5.

Относительную толщину слоев вычисляют по формуле (5.

ft) формулы гл.

Модули сдвига рассчитывают по формулам + (Hi + W) i, j, k — 1, 2, 3; i=f=i=?

; по формуле (5.

При t=l, / = 2, k = 3 и (г2 = О формулы (5.

Формулы (5.

Анализ расчетных формул показывает, что для модулей упругости перестановка указанных параметров в широкой области их изменения не приводит к существенным различиям в численных значениях.

Расчетные значения упругих констант, полученные по формулам табл.

2, несколько ниже, чем соответствующие значения, рассчитанные по формулам (5.

Модули сдвига, рассчитанные по упрощенным формулам табл.

Упрощенные формулы для модулей Юнга (см.

2) отличаются от соответствующих формул (5.

18) и упрощенных формул (см.

Объемный коэффициент армирования материала в первом направлении HI связан с геометрическими параметрами модели следующей формулой: ,, _

1,6), в формулы (5.

В формулы (5.

60) получаем известную формулу для межслойного модуля сдвига [11] m где [i1 -f- |Л2 — коэффициент армирования материала плоскими слоями.

Формально выражения для модулей соответствующей замены параметров, сдвига в плоскостях 12, 13 можно Модули сдвига в плоскостях 12 получить из формулы (5.

62) в случае армирования материала изотропными слоями параллельно плоскости 12 приводит к известной формуле для модуля сдвига в этой плоскости [18, 107]: 'is = Gc [т (pi + (i2) + + (1—Hi —Иг)1- (5-64) (l+Pi+Pj—

с) формуле 5.

17 для случая плоского напряженного состояния; 3' — по упрощенным (при Еа » ЕЛ формулам табл.

1; 3 — по упрощенным формулам табл.

с); 4 — по полным формулам табл.

В случае использования высокомодульной арматуры (Еа/Е0 ~ 100) погрешность в расчете модулей упругости по упрощенным формулам не превышает 0,5 %.

Для двух других кривых использована формула Хашина [86], при выводе которой ставились условия Рейсса.

Использование в расчетах упрощенных формул, полученных для случая армирования высокомодульной арматурой, приводит к завышенному значению модуля сдвига (кривые 3 и 4).

1); 4 — V12; формулам (5.

Для третьей модели — сведению к однонаправленно-армированной среде — асимптотами являются прямые 3' и 4', рассчитанные при непосредственном вырождении формул согласно упрощенным зависимостям для Gij no табл.

Модули сдвига рассчитывали по формулам (5.

2) формулам слоистой модели (см.

Здесь же приведены расчетные значения, вычисленные по формулам на с.

Диаграмма построена по формуле пересчета компоненты упругости при повороте осей, причем за исходное ее значение принято одно из экспериментально определенных значений модуля Юнга для материала Sepcarb-4D-?

1) получено комбинацией формул преобразования констант упругости при изменении системы координат.

Задаваясь упругими характеристиками волокна и связующего, получим следующие формулы для трех независимых технических констант материала 4D в главных осях упругой симметрии

8) по следующим формулам: v?

12), по формулам, приведенным в работе [21], показал, что а0 <* О, Ьа<^ 0.

Поперечный сдвиг, связанный через формулы Коши с осевым перемещением w, может в значительной степени повлиять на распределение последнего.

5), определяют по формулам, приведенным на с.

12) входят упругие характеристики однонаправленного слоя, определяемые по формулам, приведенным на с.

При хаотическом распределении нитевидных кристаллов во всем объеме полимерной матрицы модифицированную матрицу определяют по формулам (3.

Упругие характеристики композиционных материалов с учетом усредненных свойств матрицы рассчитывают по формулам, полученным для слоистых композиционных материалов с соответствующей укладкой волокон (однонаправленной или ортотропной) [25, 88].

Упругие постоянные связующего, входящие в эти формулы, заменяют упругими характеристиками модифицированной матрицы, которые вычисляют по зависимостям (7.

Экспериментальные значения модуля упругости хорошо согласуются с его расчетными значениями, вычисленными по формулам (7.

Это подтверждается удовлетворительным совпадением значений для С23 и Е3, рассчитанных по формулам (7.

уложены параллельно плоскости 12, поэтому индексация констант иная, чем в формулах (7.

Так, при одинаковых диаметрах волокон всех направлений и расстоянии между ближайшими точками сечений двух соседних волокон, равным Л, суммарный коэффициент армирования с учетом finp Для идеализированной плотной структуры находят по формуле

Свойства упругие характеристики материала рассчитывают по формулам, полученным для слоистых сред аналогичной структуры (см.

Для их расчета в зависимости от физических и геометрических параметров задачи в работе [62] получены конечные формулы.

Как показывают исследования изотропного стержня [78], входящий в формулы для определения прогиба с учетом поперечных сдвигов коэффициент формы поперечного сечения не является постоянной величиной, а зависит от коэффициента Пуассона и относительной ширины образца blh.

В частном случае они вырождаются в классические формулы, полученные на основе гипотезы Бернулли.

Значения нормальных напряжений ах, вычисленные для центрального сечения балки | = 0 по формулам работы [61] и (2.

Здесь же приведены значения напряжений, вычисленные по формуле Стокса, учитывающей особенность сосредоточенного нагружения в точке?

В уточненном варианте [81 ] формула Стокса имеет следующий вид:

Из представленных данных следует, что расчет напряжений ах по формулам (2.

Эпюры относительных значений нормальных напряжений при изгибе в центральном сечении балки (\ — 0), рассчитанные по формулам работы [61] при Г„ = 4, с = IJI = 1: / — о^ =50.

(52 = 150; 2 — 5 и 25; Л — 1 и 2; — — — по формуле (2.

— по формуле (2.

Погрешность для напряжений, рассчитанных по классическим формулам (2.

Значе- ния ах и txz кл были рассчита- ны по формулам работы [61], ах кл — по формуле (2.

Для материалов с высокой анизотропией свойств (а2 = = 50, Р2 = 150) при l/h = 15 напряжение ах в центральном сечении балки, рассчитанное по уточненной формуле из работы [61], меньше ах, вычисленного по (2.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru